本日の数学 - 元データ分析の会社で働いていた人の四方山話

今日もこちょこちょ
まとまって勉強する時間もとらないといけないな。
最適化数学の本だが、まだ数学的準備という章である。

無理数の微分(高校数学)
2次形式の標準形

そういえば固有値・固有ベクトルの定義ってこんなんだったんだな。

行列 $\mathbf{A}$ に対して
$\mathbf{A} \mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}$
が成り立つ $\mathbf{0}$ ないベクトル $\mathbf{u}$ を行列 $\mathbf{A}$ の固有ベクトル、 $\lambda$ をその固有値と呼ぶ。

とな。
固有値、固有ベクトル、最初学んだ時は「なんじゃいな」という感じだったけど、最近になってようやく線形代数の先生が「これは便利なので覚えておくこと」と連呼していた理由が少しは分かる気分だ。

読んでいる本によると

$\mathbf{A}$ が $n \times n$ 対称行列のとき、 $\mathbf{A}$ はn個の実数の固有値 $\lambda_1 , \cdots , \lambda_n$ をもち、対応する固有ベクトル $\mathbf{u}_1, \cdots , \mathbf{u}_n$ は要素がすべて実数の互いに直交する単位ベクトルとなるように選べる。

こりゃ便利。
単位ベクトルで直交、つまり基底ベクトルになるってことかな（この変は怪しいかも）
それにクロネッカのデルタの性質を満たすわけです。

あ、定理に書いてる。

対応する実数の固有ベクトルからなる正規直交系が存在する。

と。

あと、固有値を求める計算でも、なるへそ、という感じ。
固有ベクトルが $\mathbf{u} = \mathbf{0}$ であってはいけない。
自明な解( $\mathbf{0}$ )を持たないためには、連立方程式が複数の解を持たなければならない。
そのためには連立方程式の行列式(係数行列式)が0でないといけない、と。
これが、固有方程式なんですな。

固有ベクトルから得られる正規直交系を使った変数変換を行うと、2次形式は2乗和の標準形に変換できるわけです。

よくよく考えれば大学一年のないようですね。
私は大学院生ですよ。
数学についての基礎がなさすぎ＞＜