本日の数学 - 元データ分析の会社で働いていた人の四方山話

$\sqrt{1- \sin \theta}$

からルートを取りさることが出来ずに苦労した。

よくよく考えると高校数学レベルだったりするのだが…orz

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
と
$\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
を組み合わせればよいだけ。

正確に言うと
$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
を使えば

$\sqrt{1-\sin \theta} = \sqrt{\sin^2 \theta - 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \cos^2 \theta$
となり
整理すると
$\sqrt{ (\sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2})^2} = \sin \frac{\theta}{2} - \cos \frac{\theta}{2}$
となる。

で、結局これが何に必要なのかといえば、レポートである。
ルートロールオフフィルタの逆フーリエ変換に必要なのだ。
元の式には後ろに $e$ の項が掛けられたものを積分しないといけないので、部分積分が必要。
ルートを取り払ったら、 $sin$ と $cos$ が出てきたので、そのそれぞれに部分積分、しかも三角関数と $e$ の組み合わせなので、複数回の繰り返しをしないと…
積分区間が2つあるので…
恐ろしい…
解くのが恐ろしい…

結果は美しくもなんともない膨大な結果が出てくるらしい…